Matemáticos españoles resuelven el problema de describir cómo rompe una ola

DIVULGA/DICYT  Predecir cuándo se formará un tornado, cuándo romperá una ola o simplemente hacia dónde se moverá una gota sobre un plano son problemas tan difíciles como útiles. Si se resolvieran habría modelos de clima mucho más precisos y coches o aviones que consumirían mucho menos combustible, por ejemplo. El reto común a todos ellos es averiguar cómo se mueve un fluido –el aire, el agua y la gasolina son fluidos-, una pregunta a la que los matemáticos llevan enfrentándose desde el siglo XVII y que forma parte de los problemas llamados del milenio, cuya resolución se premia con un millón de dólares.

Un equipo integrado por cuatro matemáticos españoles y un estadounidense -que obtuvo en 1978 la medalla Fields- ha resuelto ahora un aspecto del problema. Su solución describe matemáticamente cómo se produce la ruptura de una ola.

“Nuestro resultado no resuelve el Problema del Milenio, pero las nuevas ideas que hemos desarrollado sí abren vías para acercarse a él”, señala Diego Córdoba, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT-CSIC) que recientemente ha obtenido el Premio Miguel Catalán para científicos menores de 40 años y uno de los autores.

Curiosamente, el problema resuelto parece en principio más difícil que el seleccionado por el Instituto Clay estadounidense a principios de este siglo para ser uno de los siete Problemas del Milenio. Pero las apariencias engañan.

Lo que el trabajo ahora publicado demuestra es que en las ecuaciones que hoy en día se usan para describir el movimiento de los fluidos puede formarse lo que los matemáticos llaman una singularidad. Las singularidades son lo que ocurre cuando rompe una ola, cuando se forma un tornado o cuando un fluido se vuelve turbulento. Sobre el papel, el fenómeno se traduce en que una de las variables que describen ese fluido, como su velocidad, su presión o su densidad –entre otras-, cambia de forma explosiva y alcanza un valor infinito.

Ecuaciones de dos siglos y medio

¿Por qué es necesario demostrar que las singularidades existen en las ecuaciones? Existen en el mundo real, y por tanto las ecuaciones que lo describen deben contemplarlas. Y esta es la primera vez que se logra demostrar que efectivamente lo hacen, a pesar de que son ecuaciones ya muy antiguas. De ahí la relevancia del resultado obtenido por este grupo.

En 1755 Leonhard Euler –apodado príncipe de las matemáticas- escribió por primera vez las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de un fluido llamado ideal, sin fricción en sus moléculas; casi un siglo más tarde Claude-Louis Navier y Gabriel Stokes introdujeron la fricción, la viscosidad, y llegaron a las ecuaciones de Navier-Stokes. Hoy estas ecuaciones son esenciales en los modelos de simulación de clima y en los que describen cómo fluye el aire en torno a las alas de un avión –entre otros muchos ejemplos-. Pero que las ecuaciones se usen no significa que se comprendan bien matemáticamente.

Los modelos se alimentan de soluciones siempre aproximadas, obtenidas gracias a la gran capacidad de cálculo de las computadoras. En realidad, las ecuaciones de Navier Stokes aún no se saben resolver de forma que informen con total certeza de cómo se comportará un fluido de ciertas características, y en determinadas condiciones, en un tiempo dado.

Con ese objetivo en el horizonte los matemáticos investigan las ecuaciones preguntándose, por ejemplo, si admiten o no singularidades. “Son ecuaciones tan complejas que hasta el día de hoy era desconocida la existencia de singularidades. Es más, todavía no se han desarrollado las herramientas matemáticas necesarias para capturar una visión global del fenómeno”, explica Córdoba.

Sin viscosidad y con frontera: diferencias con ‘el del milenio’

El problema planteado por el Instituto Clay pregunta si las soluciones para un fluido que en determinadas condiciones empieza a moverse de forma suave y laminar siempre implicarán, a medida que avance el tiempo, un flujo suave y laminar. Es decir, si el movimiento seguirá siendo regular, sin cambios bruscos –sin singularidades-.

La respuesta que da el trabajo ahora publicado es que no seguirá siendo regular, es decir, sí hay singularidades. Pero no vale para ganar el millón de dólares, porque el problema del milenio pone ciertas condiciones. Una es que debe considerarse la viscosidad, algo que no hace el grupo de Córdoba.

Y la otra diferencia son las condiciones de contorno: el fluido del problema del milenio carece de frontera, no está en contacto con ninguna otra sustancia -una condición que no se da en la realidad cotidiana-. El fluido con el que han trabajado los autores del trabajo que ahora se publica, en cambio, sí tiene un contorno, una frontera con otra sustancia –el agua con el aire de la atmósfera, por ejemplo-. En ese sentido, el problema ahora resuelto podría considerarse en principio más difícil que el planteado por el Instituto Clay.

“Sí, en principio nuestro problema es más difícil”, dice Córdoba, “pero nos dimos cuenta de cómo podría ser la singularidad en la frontera; la singularidad que encontramos está precisamente en la interfase entre el fluido y el vacío”.

Singularidad tipo ‘splash’

La singularidad que han encontrado es una singularidad de tipo splash: una singularidad en que la interfase se toca a sí misma en un punto en tiempo finito, o dicho de otra forma, “el fenómeno que uno observa en la playa al ver las olas romper, en el cual la ola gira sobre sí misma y se toca”, explica Córdoba.

Así, el grupo no gana el millón de dólares pero logra un avance importante en la comprensión de las ecuaciones de Navier-Stokes y de Euler, un problema en el que la comunidad matemática lleva siglos trabajando y con múltiples aplicaciones en la vida cotidiana.El trabajo Splash singularity for water waves se ha publicado en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS) y también se encuentra disponible en arXiv. Sus autores son Angel Castro (ENS París), Diego Córdoba (ICMAT – CSIC), el medalla Fields Charles Fefferman (Princeton University), Francisco Gancedo (Universidad de Sevilla) y Javier Gómez-Serrano (ICMAT – CSIC).

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